Question

17．设f（x）=lnx+ae^-x，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x-y-10=0平行，求a的值；
（2）若函数y=f（x）为定义域上的增函数，求a的取值范围；
（3）若a=-1，求证：f（x）+$\frac{2}{ex}$＞0．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出a的值．
（2）求出导数，求出函数的最小值，使得a小于函数的最小值即可．
（3）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，求出f（x）=xlnx的最小值，只要求函数G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$的最大值进行比较即可得证．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+ae^-x，x＞0
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^-x，
∵曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x-y-10=0平行，
∴f′（1）=1-ae^-1=2，解得a=-e，
（2）由（1）知，f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^-x，
∵函数y=f（x）为定义域上的增函数，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^-x＞0，在（0，+∞）上恒成立，
∴a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当g′（x）＞0时，即x＞1时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即0＜x＜1时，函数单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=e，
∴a＜e，
（3）当a=-1时，f（x）=lnx-e^-x，
要证f（x）+$\frac{2}{ex}$＞0，
只要证xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
f（x）=xlnx的导数为1+lnx，当x＞$\frac{1}{e}$时，f（x）递增，
x＜$\frac{1}{e}$时，f（x）递减，即有x=$\frac{1}{e}$时，取得最小值-$\frac{1}{e}$；
设G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
则G'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，当0＜x＜1时，G（x）递增；
当x＞1时，G（x）递减．则有x=1处取得最大值-$\frac{1}{e}$，
从而可知对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
即f（x）+$\frac{2}{ex}$＞0．

点评 本题考查函数性质和导数的综合应用，解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值，属于难题