Question

12．已知函数f（x）=ln（x+1）+ae^-x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）不是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数定义域，当a=1时，f′（x）=$\frac{{{e^x}-（{x+1}）}}{{（{x+1}）{e^x}}}$，构造辅助函数h（x）=e^x-（x+1）（x＞-1），求单判断h（x）的单调性，求得函数的最小值，即可判断f′（x）≥0，可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知e^x≥x+1，当a≤1时，e^x≥a（x+1），f′（x）≥0，函数单调递增，不满足，当a＞1时，构造辅助函数g（x）=e^x-a（x+1）（x＞-1），求导，利用导数求得函数的单调性，根据函数的单调性求得函数的零点，即可求得函数f（x）的单调区间，即可求得满足题意的a的取值范围．

解答 解：函数函数f（x）=ln（x+1）+ae^-x（a∈R）．定义域为（-1，+∞），…（1分）
$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a{e^{-x}}$=$\frac{1}{x+1}-\frac{a}{e^x}$=$\frac{{{e^x}-a（{x+1}）}}{{（{x+1}）{e^x}}}$；…（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=$\frac{{{e^x}-（{x+1}）}}{{（{x+1}）{e^x}}}$，令h（x）=e^x-（x+1）（x＞-1），
则h′（x）=e^x-1，由h′（x）=0，得x=0，
则x∈（-1，0）时，h′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，
所以h（x）在（-1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
所以h（x）≥h（0）=e⁰-1=0，…（5分）
即f′（x）≥0，所以f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
即f（x）的增区间为（-1，+∞）．  …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e^x≥x+1，…（7分）
①当a≤1时，a（x+1）≤x+1，
故e^x≥a（x+1），于是f′（x）=$\frac{{{e^x}-a（{x+1}）}}{{（{x+1}）{e^x}}}$≥0，
则f（x）在（-1，+∞）上是增函数，故a≤1不合题意；…（9分）
②当a＞1时，令g（x）=e^x-a（x+1）（x＞-1），g′（x）=e^x-a，由g′（x）=0，得x=lna＞0，
于是x∈（-1，lna）时，g′（x）＜0；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，
即所以g（x）在（-1，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，…（11分）
而g（-1）=e^-1＞0，g（lna）=e^lna-a（lna+1）=-alna＜0，
故g（x）在（-1，lna）上存在唯一零点，…（12分）
设其为x₀，则x∈（-1，x₀）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；x∈（x₀，lna）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，x₀）上是增函数，在（x₀，lna）上是减函数，…（13分）
∴f（x）不是单调函数，故a＞1符合题意．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．…（14分）

点评 本题考查对数函数的图象和性质，利用导数求函数的单调性及最值，关键是通过分类讨论得到函数的单调区间及会转化利用已证的结论解决问题，属于中档题．