Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4c²sin²A=3a²，a＞c．
（1）求角C的大小；
（2）若c=3，b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理边化角，得出sinA，根据A的范围得出A；
（2）利用余弦定理求出a，代入三角形的面积公式求出面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵4c²sin²A=3a²，∴4sin²Csin²A=3sin²A，
∵0＜sinA≤1，∴sin²C=$\frac{3}{4}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a＞c，∴C＜A，又A+C＜π，∴C$＜\frac{π}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即$\frac{{a}^{2}-6}{2\sqrt{3}a}$=$\frac{1}{2}$，解得a=2$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题．