Question

17．已知函数f（x）=3cos2x（x∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=1，α为第一象限角，求tan（π-α）的值；
（3）求不等式f（x）＞$\frac{3}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性的定义，作出判断．
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=1，求得cosα=$\frac{1}{3}$，根据α为第一象限角，可得sinα的值，再利用诱导公式求得tan（π-α） 的值．
（3）由不等式f（x）＞$\frac{3}{2}$，可得cos2x＞$\frac{1}{2}$，可得 2x∈（2kπ-$\frac{π}{3}$ 2kπ+$\frac{π}{3}$），由此求得x的范围．

解答 解：（1）对于函数f（x）=3cos2x，由于f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），
故f（x）为偶函数．
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=3cosα=1，∴cosα=$\frac{1}{3}$，∵α为第一象限角，∴sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴tan（π-α）=-tanα=-$\frac{sinα}{cosα}$=-2$\sqrt{2}$．
（3）由不等式f（x）＞$\frac{3}{2}$，可得cos2x＞$\frac{1}{2}$，∴2x∈（2kπ-$\frac{π}{3}$ 2kπ+$\frac{π}{3}$），
求得x∈（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z，∴原不等式的解集为（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z．

点评 本题主要考查余弦函数的奇偶性，同角三角函数的基本关系，解三角不等式，属于基础题．