Question

7．已知不等式x²+px＞4x+p-4．
（1）若不等式在2≤x≤4时有解，求实数p的取值范围；
（2）若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式x²+px＞4x+p-4化为x²+（p-4）x+4-p＞0①，设f（x）=x²+（p-4）x+4-p，不等式①在2≤x≤4时有解时，f（2）＞0，或f（4）＞0，由此求出p的取值范围；
（2）不等式x²+px＞（4x+p-4）化为p（x-1）+（x²-4x+4）＞0②，设g（p）=p（x-1）+（x²-4x+4），0≤p≤6时不等式②恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（6）＞0}\end{array}\right.$，求出x的取值范围即可．

解答 解：（1）不等式x²+px＞4x+p-4可化为x²+（p-4）x+4-p＞0①，
设f（x）=x²+（p-4）x+4-p，
当不等式①在2≤x≤4时有解时，
即存在x∈[2，4]，使f（x）＞0，
所以f（2）＞0，或f（4）＞0成立，
即4+2（p-4）+4-p＞0，或16+4（p-4）+4-p＞0，
解得p＞-$\frac{3}{4}$；
（2）不等式x²+px＞（4x+p-4）化为p（x-1）+（x²-4x+4）＞0②，
设g（p）=p（x-1）+（x²-4x+4），
因为0≤p≤6时不等式②恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（6）＞0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+4＞0}\\{6（x-1）{+（x}^{2}-4x+4）＞0}\end{array}\right.$，
解得x＜-1-$\sqrt{3}$，或x＞-1+$\sqrt{3}$，且x≠-2．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了不等式在某一闭区间上有解的问题，是综合性题目．