Question

17．已知函数f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin${\;}^2}\frac{x}{2}$$\frac{x}{2}$．f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}}$]上的最小值是$-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，x∈[0，$\frac{2π}{3}}$]，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得到答案．

解答 解：f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin${\;}^2}\frac{x}{2}$$\frac{x}{2}$，
=sinx-$\sqrt{3}$（1-cosx），
=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$，
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
x∈[0，$\frac{2π}{3}}$]，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[0，2]，
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$∈[-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，
∴f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}}$]的最小值为-$\sqrt{3}$，
故答案为：$-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查，属于基础题．