Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1）．
（1）求a₁的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}为等差数列，且b₃+b₅=-8，2b₁+b₄=0，设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），n=1时，a₁=$\frac{3}{2}（{a}_{1}-1）$，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=3a_n-1（n≥2）．利用等比数列通项公式即可得出．
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，∵利用等差数列的通项公式可得b_n．c_n=a_n•b_n=（4-2n）•3ⁿ．利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），∴n=1时，a₁=$\frac{3}{2}（{a}_{1}-1）$，解得a₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$（a_n-1）-$\frac{3}{2}$（a_n-1-1）．化为：a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₃+b₅=-8，2b₁+b₄=0，
∴2b₁+6d=-8，3b₁+3d=0．解得b₁=2，d=-2．
∴b_n=2-2（n-1）=4-2n．
设c_n=a_n•b_n=（4-2n）•3ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2×3+0-2×3³-…+（4-2n）•3ⁿ．
∴3T_n=2×3²+0-2×3⁴-…+（6-2n）•3ⁿ+（4-2n）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=2×3-2×3²-2×3³-2×3⁴-…-2×3ⁿ-（4-2n）•3ⁿ⁺¹=12-2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（4-2n）•3ⁿ⁺¹=15-（5-2n）×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=-$\frac{15}{2}$+$\frac{5-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．