Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+x+a，x＜0\\ lnx，x＞0\end{array}$，若函数f（x）的图象在A、B两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （1，2）
• C． （-1，+∞）
• D． （-ln2，+∞）

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=lnx₂-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，构造h（t）=-lnt+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$，（0＜t＜1），最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答 解：当x＜0时，f（x）=x²+x+a的导数为f′（x）=2x+1；
当x＞0时，f（x）=lnx的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂，
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为
y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）．
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+1①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，由①②得a=lnx₂-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则0＜t＜1，且a=-lnt+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$，
设h（t）=-lnt+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$，（0＜t＜1）
则h′（t）=-$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$＜0，即h（t）在（0，1）为减函数，
则h（t）＞h（1）=-ln1-1=-1，
则a＞-1，
可得函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，
a的取值范围是（-1，+∞）．
故选：C．

点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．