Question

4．已知a＞$\frac{1}{2}$，函数f（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$（a-2）x²+b，g（x）=2alnx，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）设F（x）=f′（x）-g（x），若对任意的x₁，x₂∈（0，4），且x₁≠x₂，都有F（x₁）=F（x₂），求证：x₁+x₂＞4．（参考公式：（ln（a-x））′=$\frac{1}{x-a}$，a为常数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数和切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，f'（1）g'（1）=-1，f（1）=g（1）=0解方程可得a，b，c的值；
（Ⅱ）求得F（x）的导数，可得单调区间，由题意可设0＜x₁＜2＜x₂＜4，设G（x）=F（x）-F（4-x）=2x-2lnx+2ln（4-x）-4，x∈（2，4），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$（a-2）x²+b的导数为
$f'（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（a-2）x$，可得$f'（1）=a-\frac{3}{2}$，
g（x）=2alnx的导数为$g'（x）=\frac{2a}{x}$，可得g'（1）=2a，
依题意有f'（1）g'（1）=-1，
由题意可得（a-$\frac{3}{2}$）•2a=-1，（a＞$\frac{1}{2}$），
解得a=1；
又f（1）=g（1）=0，
可得$b=\frac{1}{3}，c=0$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a=1，则$F（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x-2lnx$，
可得$F'（x）=\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
即有F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，
若对任意的x₁，x₂∈（0，4），且x₁≠x₂，都有F（x₁）=F（x₂），
不妨设0＜x₁＜2＜x₂＜4，
设G（x）=F（x）-F（4-x）=2x-2lnx+2ln（4-x）-4，x∈（2，4），
可得$G'（x）=\frac{{2{{（x-2）}^2}}}{x（x-4）}$，2＜x＜4，可得G'（x）＜0，
则G（x）单调递减，可得G（x）＜G（2）=0，
故对x∈（2，4），F（x）＜F（4-x），
由x₂∈（2，4），可得F（x₂）＜F（4-x₂），
又F（x₁）=F（x₂），则F（x₁）＜F（4-x₂），
因为x₁∈（0，2），4-x₂∈（0，2），
而F（x）在（0，2）上单调递减，
所以x₁＞4-x₂，即x₁+x₂＞4．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式的证明，注意运用构造函数法和韩寒说的单调性、不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．