Question

18．解方程：
（1）3×|2x-1|-1=5；（2）|x-|2x+1||=3；（3）|x-2|+|x+5|=6；
（4）|x-5|+$\sqrt{（4-x）^{2}}$=1；（5）x|x|-3|x|+2=0．

Answer 1

分析 根据绝对值的定义，利用适当的方法去掉绝对值，化为整式方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵3×|2x-1|-1=5，
∴3×|2x-1|=6，
∴|2x-1|=2，
∴2x-1=2或2x-1=-2，
解得x=$\frac{3}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵|x-|2x+1||=3，
∴x-|2x+1|=3或x-|2x+1|=-3，
即x-3=|2x+1|①或x+3=|2x+1|②，
解①得，x²-6x+9=4x²+4x+1，
解得x=-4（不合题意，舍去）或x=$\frac{2}{3}$（不合题意，舍去）；
解②得，x²+6x+9=4x²+4x+1，
解得x=2或x=-$\frac{4}{3}$；
综上，原方程的解为x=2或x=-$\frac{4}{3}$；
（3）∵|x-2|+|x+5|=6，
∴当x≤-5时，方程化为-（x-2）-（x+5）=6，解得x=-$\frac{9}{2}$（不合题意，舍去）；
当-5＜x＜2时，方程化为-（x-2）+（x+5）=6，此方程无解；
当x≥2时，方程化为（x-2）+（x+5）=6，解得x=$\frac{3}{2}$（不合题意，舍去）；
综上，此方程无解；
（4）∴|x-5|+$\sqrt{（4-x）^{2}}$=1，
∴|x-5|+|x-4|=1；
∴当x≤4时，方程化为-（x-5）-（x-4）=1，解得x=4；
当4＜x＜5时，方程化为-（x-5）+（x-4）=1，解得4＜x＜5；
当x≥5时，方程化为（x-5）+（x-4）=1，解得x=5；
综上，原方程的解为4≤x≤5；
（5）∵x|x|-3|x|+2=0
∴当x≥0时，方程化为x²-3x+2=0，解得x=1或x=2；
当x＜0时，方程化为-x²+3x+2=0，解得x=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$（不合题意，舍去）；
综上，原方程的解为x=1或x=2或x=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了含有绝对值的方程的解法与应用问题，解题的关键是去掉绝对值，是综合性题目．