Question

14．在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“D-数列”．
（1）举出一个前六项均不为零的“D-数列”（只要求依次写出该数列的前六项）；
（2）若“D-数列”{a_n}中，a₂₀₁₅=3，a₂₀₁₆=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在？如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；
（3）证明：任何“D-数列”中总含有无穷多个为零的项．

Answer 1

分析 （1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1；
（2）{a_n}的极限不存在，{b_n}的极限存在．运用分段形式写出a_n与b_n的通项公式，即可得到结论；
（3）运用反证法证明．假设{a_n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a_n＞0．运用推理论证得到{b_n}单调，即可证明．

解答 解：（1）如10，9，1，8，7，1等等．
（2）{a_n}的极限不存在，{b_n}的极限存在．
事实上，因为|3-0|=3，|0-3|=3，|3-3|=0，
当n≥2015时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=3k-1}\\{0，n=3k}\\{3，n=3k+1}\end{array}\right.$，k∈Z，
因此当n≥2015时，b_n=6．
所以$\underset{lim}{n→∞}$b_n=6．
（3）证明：假设{a_n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a_n＞0．
当n≥K时，记b_n=max{a_n，a_n+1}．
于是a_n+1≤b_n，a_n+2=|a_n-a_n+1|＜max{a_n，a_n+1}＜b_n，故b_n+1≤b_n，
而a_n+3=|a_n+2-a_n+1|＜max{a_n+2，a_n+1}≤b_n+1≤b_n，从而b_n+2＜b_n．
这样b_K＞b_K+2＞b_K+4＞…形成了一列严格递减的无穷正整数数列，这不可能，
故假设不成立，{a_n}中必有无限个0．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查数列极限的求法和不等式的证明方法：反证法，考查运算和推理能力，属于中档题．