Question

1．由正实数组成的数列{a_n}满足：a_n²≤a_n-a_n+1，n=1，2…证明：对任意n∈N^*，都有a_n＜$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 根据正项数列{a_n}，以及a_n²≤a_n-a_n+1，可得0＜a_n+1≤a_n-a_n²，解此不等式即可得到0＜a_n＜1，不难得出a₁＜1，a₂＜1，利用数学归纳法证明即可利用数学归纳法证明即可．

解答 解：a_n²≤a_n-a_n+1，得a_n+1≤a_n-a_n²
∵在数列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n+1＞0，
∴a_n-a_n²＞0，
∴0＜a_n＜1，
∴a₂≤a₁-a₁²=a₁（1-a₁）≤（$\frac{{a}_{1}+1-{a}_{1}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$
由此猜想：a_n＜$\frac{1}{n}$（n≥2）．下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，显然成立；
②当n=k时（k≥2，k∈N）时，假设猜想正确，即a_k＜$\frac{1}{k}$
那么a_k+1≤a_k-a_k²=-（a_k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤-（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{k-1}{{k}^{2}}$＜$\frac{k-1}{{k}^{2}-1}$＜$\frac{1}{k+1}$
∴当n=k+1时，猜想也正确
综上所述，对于一切n∈N^*，a_n＜$\frac{1}{n}$．

点评 本题主要考查数列与不等式问题和数学归纳法，对探究性问题先归纳，再猜想，最后利用数学归纳法证明，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立，属中档题．