Question

12．下面有四个命题：
①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；
②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；
③分别与两条互相垂直相交的直线垂直的两个平面互相垂直；
④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直．
其中正确的命题序号是①②③．

Answer 1

分析 利用线面位置关系的判定与性质进行判断，或反举例得出结论．

解答 解：①设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ，且α∩β=a，β∩γ=bγ∩α=c，三个平面的公共点为O，如图所示：
在平面γ内，除点O外，任意取一点M，过点M作MN⊥c，MP⊥b，M、P为垂足，
则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α，MP⊥β，
∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．                           
∵b?γ，c?γ，
∴a⊥b，a⊥c．
同理可证，c⊥b，c⊥a，故而①正确
②若a⊥b，a⊥c．则a⊥平面γ，
∵a?α，∴α⊥γ，
同理β⊥γ，α⊥β．故②正确．
③若a⊥b，a⊥γ，b⊥α，则a，b的方向向量分别为γ，α的法向量，由a，b的夹角为90°
∴平面γ，平面α所成的二面角为90°，即γ⊥α．故③正确．
④假设α∩β=a，b⊥a，b?β，则当平面β绕交线a旋转式，恒有a⊥b，显然α不总是垂直β，故④错误．
故答案为①②③．

点评 本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．