Question

3．已知各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，则$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，两边平方可得：S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，利用递推关系可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由已知可得：a_n-a_n-1=2，利用等差数列的推通项公式可得a_n，进而得到S_n．代入$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$，变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，
∴S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又${a}_{1}=2\sqrt{{a}_{1}}$-1，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{4}（2n-1+1）^{2}$=n²．
∴$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$=$\frac{2{n}^{2}+16}{2n-1+3}$=$\frac{{n}^{2}+8}{n+1}$=（n+1）+$\frac{9}{n+1}$-2≥$2\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}$-2=4，当且仅当n=2时取等号．
∴$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值为4．
故选：A．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．