Question

16．设函数f（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax在区间（1，+∞）上没有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数g（x）的表达式，单调函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，由g（x）≥0得$\frac{1}{2}$a≥$\frac{lnx}{2x}$-x，令y=$\frac{lnx}{2x}$-x，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（2x-1）（2x+1）}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增；
（2）g（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$ax，
由g′（x）=$\frac{{4x}^{2}+ax-1}{2x}$＞0，解得：x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{8}$，
由g′（x）=$\frac{{4x}^{2}+ax-1}{2x}$＜0，解得：x＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{8}$，
∴g（x）在（0，$\frac{{4x}^{2}+ax-1}{2x}$）递减，在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{8}$，+∞）递增，
又g（x）在（1，+∞）上没有零点，
∴g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
由g（x）≥0得$\frac{1}{2}$a≥$\frac{lnx}{2x}$-x，
令y=$\frac{lnx}{2x}$-x，则y′=$\frac{2-2lnx-{4x}^{2}}{{4x}^{2}}$，
当x≥1时，y′＜0，
∴y=$\frac{lnx}{2x}$-x在[1，+∞）递减，
∴x=1时，y_max=-1，
∴$\frac{1}{2}$a≥-1，即a∈[-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．