Question

5．△ABC中，AB=8，AC=6，AD垂直BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，若$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=6，则BC=（　　）

• A． 2$\sqrt{13}$
• B． 10
• C． 2$\sqrt{37}$
• D． 14

Answer 1

分析 根据条件，可分别以BC，DA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=a，这样由条件便可表示出图中各点的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}$的坐标，这样由$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=6$便可建立关于a的方程，解出a即可求出BC的大小．

解答 解：如图，分别以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，设BD=a，
则：
$D（0，0），B（-a，0），A（0，\sqrt{64-{a}^{2}}），E（-\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}）$$，C（\sqrt{{a}^{2}-28}，0），F（\frac{\sqrt{{a}^{2}-28}}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{DE}=（-\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}），\overrightarrow{DF}=（\frac{\sqrt{{a}^{2}-28}}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=-\frac{a\sqrt{{a}^{2}-28}}{4}+\frac{64-{a}^{2}}{4}=6$；
解得$a=\frac{20}{\sqrt{13}}$，∴$DC=\frac{6}{\sqrt{13}}$；
∴$BC=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$．
故选A．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，直角三角形边的关系．