Question

17．抛物线y=x²，若过点（0，m）且长度为2的弦恰有两条，则m的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 由题意可得弦所在直线的斜率存在，设为k，可得直线方程为y=kx+m，（k≠0），代入抛物线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，弦长公式，运用换元法，以及函数的单调性和抛物线的对称性，即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得弦所在直线的斜率存在，设为k，
可得直线方程为y=kx+m，（k≠0），
代入抛物线的方程，可得x²-kx-m=0，
即有△=k²+4m＞0，
设弦的端点的横坐标分别为x₁，x₂，
可得x₁+x₂=k，x₁x₂=-m，
即有弦长为$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+4m}$=2，
化为4m=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$-k²，
令t=1+k²（t＞1），即有f（t）=$\frac{4}{t}$-t+1递减，
则f（t）＜4，即有4m＜4，解得m＜1．
检验由抛物线关于y轴对称，成立．
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查抛物线的方程和运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力和转化思想，属于中档题．