Question

8．某省去年高三100000名考生英语成绩服从正态公布N（85，225），现随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[30，150]之间，将成绩按如下方式分成6组：第一组[30，50），第二组[50，70），…第6组[130，150]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算该50名考生成绩的众数和中位数．
（Ⅱ）求这50名考生成绩在[110，150]内的人中分数在130分以上的人数．
（Ⅲ）从这50名考生成绩在[110，150]的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到后）在全省前130名的人数记为X．求X的数学期望
（参考数据：若X～N（u，δ²）
则P（u-δ＜X≤u+δ）=0.6826
P（u-2δ＜X≤u+2δ）=0.9544
P（u-3δ＜X≤u+3δ）=0.9974）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能求出该50名考生成绩的众数和中位数．
（Ⅱ）由频率分布直方图求出后两组频率及人数，从而成绩在[110，150]的人数为10人，P（x≥130）=0.0013．由此能求出这50名考生成绩在[110，150]内的人130分以上的人数．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知该50名考生成绩的众数为：$\frac{70+90}{2}$=80，
中位数为：70+$\frac{0.5-0.004×20-0.01×20}{0.016}$=83.75．
（Ⅱ）由频率分布直方图知后两组频率为：（0.006+0.004）×20=0.2，
人数为0.2×50=10，
则成绩在[110，150]的人数为10人，
P（85-3×15＜x＜85+3×15）=0.9974，
∴P（x≥130）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013．
∴0.0013×10⁵=130人，则该省前功尽弃30名的成绩在130分以上，
∴该50人中，130分以上的有0.08×50=4人．
∴这50名考生成绩在[110，150]内的人130分以上的人数有4人．
（Ⅲ）∵从这50名考生成绩在[110，150]的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到后）在全省前130名的人数记为X，
∴X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

E（X）=$0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}$+2×$\frac{2}{15}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查正态分布的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．