Question

19．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+bx}{x+1}$，g（x）=ln（x+1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x-4y+1=0
（1）求a，b的值；
（2）若当x∈[0，+∞）时，恒有f（x）≥kg（x）成立，求k的取值范围；
（3）若$\sqrt{5}$=22361，试估计ln$\frac{5}{4}$的值（精确到0.001）

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出a，b的值，
（2）构造函数F（x），求导，解法一：根据判别式方程的根分类讨论即可求出k的范围，
解法二：根据函数的单调性和数形结合的方法即可求出k的范围，
（3）由（2）当k≤2时，$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$≥kln（1+x）在x≥0时恒成立，取值验证即可．

解答 解（1）f′（x）=$\frac{a{x}^{2}+2ax+b}{（x+1）^{2}}$，由题意：f′（1）=$\frac{3a+b}{4}$=$\frac{5}{4}$    f（1）=$\frac{a+b}{2}$=$\frac{3}{2}$    解得：a=1，b=2…（3分）
（2）：由（1）知：f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，由题意：$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$-kln（1+x）≥0
令F（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$-kln（1+x），则F′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-$\frac{k}{1+x}$…（5分）
解法一：F′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-$\frac{k}{1+x}$=$\frac{{x}^{2}+（2-k）x+2-k}{（1+x）^{2}}$
令△=（2-k）²-4（2-k）=（k-2）（k+2），
①当△≤0即-2≤k≤2时，x²+（2-k）x+2-k≥0恒成立，
∴F′（x）≥0
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（0）=0恒成立，
即f（x）≥kg（x） 恒成立，
∴-2≤k≤2时合题意
②当△＞0即k＜-2或k＞2时，方程x²+（2-k）x+2-k=0有两解x₁=$\frac{k-2-\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{k-2+\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$
此时x₁+x₂=k-2，x₁x₂=2-k
（i）当k＜-2时，x₁x₂=2-k＞0，x₁+x₂=k-2＜0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴F′（x）=$\frac{（x-{x}_{1}）（x-{x}_{2}）}{（1+x）^{2}}$＞0
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（0）=0恒成立
即f（x）≥kg（x） 恒成立
∴k＜-2时合题意
（ii）当k＞2时，x₁x₂=2-k＜0，
∴x₁＜0，x₂＞0
∴F′（x）=$\frac{（x-{x}_{1}）（x-{x}_{2}）}{（1+x）^{2}}$
∴当x∈（0，x₂）时，F′（x ）＜0
∴F（x）在x∈（0，x₂）上单调递减
∴当x∈（0，x₂）时，F（x）＜F（0）=0
这与F（x）≥0矛盾，
∴k＞2时不合题意
综上所述，k的取值范围是（-∞，2]…（8分）
解法二：F′（x）=1+$\frac{1}{（1+x）^{2}}$-$\frac{k}{1+x}$=$\frac{1}{1+x}$（1+x+$\frac{1}{1+x}$-k）
①∵1+x+$\frac{1}{1+x}$≥2，
∴当k≤2时，F′（x）≥0
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（0）=0恒成立，
即f（x）≥kg（x） 恒成立，
∴k≤2时合题意，
②当k＞2时，令F′（x）=0得x₁＜0＜x₂，结合图象可知，当x∈（0，x₂）时，F′（x ）＜0，
∴F（x）在x∈（0，x₂）上单调递减（其中x₂=$\frac{k-2+\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$）
∴当x∈（0，x₂）时，F（x）＜F（0）=0
这与F（x）≥0矛盾，
∴k＞2时不合题意
综上所述，k的取值范围是（-∞，2]…（8分）
（3）由（2）知：当k≤2时，$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$≥kln（1+x）在x≥0时恒成立

取k=2，则$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$≥2ln（1+x）  即：$\frac{（x+1）^{2}-1}{x+1}$≥2ln（1+x）
令x=$\sqrt{\frac{5}{4}}$-1＞0得：2ln$\sqrt{\frac{5}{4}}$＜$\frac{\frac{5}{4}-1}{\sqrt{\frac{5}{4}}}$，
∴ln$\frac{5}{4}$＜$\frac{\sqrt{5}}{10}$≈0.2236…（10分）
由（2）知：当k＞2时，$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$＜kln（1+x）在（0，$\frac{k-2+\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$）时恒成立
令$\frac{k-2+\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$=$\sqrt{\frac{5}{4}}$-1，解得：k=$\frac{9\sqrt{5}}{10}$
∴$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$＜$\frac{9\sqrt{5}}{10}$ln（1+x）在x∈（0，$\frac{k-2+\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$）上恒成立
取x=$\sqrt{\frac{5}{4}}$-1得：$\frac{\frac{5}{4}-1}{\sqrt{\frac{5}{4}}}$＜$\frac{9\sqrt{5}}{10}$ln$\sqrt{\frac{5}{4}}$，
∴ln$\frac{5}{4}$＞$\frac{2}{9}$≈0.2222，

∴ln$\frac{5}{4}$=$\frac{0.2236+0.2222}{2}$=0.2229
∵精确到0.001，
∴取ln$\frac{5}{4}$=0.223…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．