Question

14．如图，一平面与空间四边形ABCD的对角线AC，BD都平行，且交空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若E是边AB的中点，AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成的角为60°，求线段EG的长度．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，得到AD，CD，AC确定一个平面，推导出EF∥HG，EH∥GF，由此能证明四边形EFGH为平行四边形．
（2）推导出EF=3，FG=4，∠EFG=60°，由此利用余弦定理能求出线段EG的长度．

解答 证明：（1）连接AC，BD 
∵AD，CD，AC两两相交，∴AD，CD，AC确定一个平面，
又∵平面EFGH与空间四边形ABCD的对角线AC，BD都平行，
且交空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H，
∴AC∥平面EFGH，GH?平面ADC，AC?平面ADC，
∴AC∥GH，同理，EF∥AC，
∴EF∥HG，同理，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
解：（2）∵E是边AB的中点，AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成的角为60°，
由（1）得H、G、F分别是AD、DC、BC的中点，
∴EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}AC$=3，FG∥BD，且FG=$\frac{1}{2}BD$=4，
∴∠EFG=60°，
∴EG=$\sqrt{E{F}^{2}+F{G}^{2}-2×EF×FG×cos60°}$=$\sqrt{9+16-2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴线段EG的长度为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查四边形为平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．