Question

4．已知F₁，F₂分别是双曲线3x²-5y²=75的左焦点和右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F₁PF₂=60°，求三角形F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 化双曲线方程为标准方程，求出a²，b²的值，进一步求得c，在焦点三角形F₁PF₂中，由余弦定理与双曲线定义求得PF₁•PF₂，然后代入三角形面积公式求得答案．

解答 解：由双曲线3x²-5y²=75，得$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{15}=1$，
∴a²=25，b²=15，则$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$．
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得160=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=100+PF₁•PF₂，
∴PF₁•PF₂=60．
则${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}×60×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查双曲线的简单性质，考查焦点三角形中余弦定理与双曲线定义的应用，属于基础题．