Question

9．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d，已知S₂，S₃+1，S₄成等差数列．
（1）求公差d的值；
（2）若a₁，a₂，a₅成等比数列
①求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n；
②求$\frac{2{a}_{n}-1}{2{S}_{n}}$（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的中项的性质和求和公式，可得d=2；
（2）①运用等比数列的中项的性质，及等差数列的通项公式，解得首项为1，可得通项公式，再由裂项相消求和，可得所求和；②求得$\frac{2{a}_{n}-1}{2{S}_{n}}$=$\frac{4n-1}{2{n}^{2}}$，配方为二次函数的形式，由最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由S₂，S₃+1，S₄成等差数列，
可得2（S₃+1）=S₂+S₄，
即为2（3a₁+3d+1）=（2a₁+d）+（4a₁+6d），
解得d=2；
（2）①a₁，a₂，a₅成等比数列，
可得a₂²=a₁a₅，即为（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），
化为d²=2a₁d，由d=2，解得a₁=1，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
②$\frac{2{a}_{n}-1}{2{S}_{n}}$=$\frac{4n-1}{2•\frac{1}{2}（1+2n-1）n}$=$\frac{4n-1}{2{n}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{1}{2}$[-（$\frac{1}{n}$-2）²+4]，
当$\frac{1}{n}$=2即n=$\frac{1}{2}$不为自然数，
当n=1时，取得最大值，且为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，以及转化思想的运用，属于中档题．