Question

20．已知函数f（x）=2sinωxcos（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$，要得到函数y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）

• A． 向右平移$\frac{π}{2}$个单位
• B． 向左平移$\frac{π}{2}$个单位
• C． 向右平移$\frac{π}{4}$个单位
• D． 向左平移$\frac{π}{4}$个单位

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用对函数化简，根据周期公式求ω的值，从而可求f（x），进而根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，即可得解．

解答 解：∵$f（x）=2sinωxcos（ωx+\frac{π}{3}）$
=$2sinωx（\frac{1}{2}cosωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx）$
=$sinωxcosωx-\sqrt{3}{sin^2}ωx$
=$\frac{1}{2}sin2ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$sin（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
由题意知f（x）的最小正周期为T=π，则ω=1，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵$f（x+\frac{π}{4}）=sin[2（x+\frac{π}{4}）+\frac{π}{3}]-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（2x+\frac{π}{3}+\frac{π}{2}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=cos（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴要得到函数$y=cos（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的图象，只需将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了利用三角函数恒等变换的应用把不同名的三角函数化为一个角的三角函数，进而研究三角函数的性质，属于中档题．