Question

20．$\frac{sin（2α+β）}{sinα}$-2cos（α+β）=2，则sin²β+2cos2α=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 将一直等式第一项分子转化为α+（α+β），利用两角和差的公式展开，通分得到sinβ=2sinα，代入sin²β+2cos2α，再由二倍角公式化简计算．

解答 解：∵$\frac{sin（2α+β）}{sinα}$-2cos（α+β）=$\frac{sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）}{sinα}-2cos（α+β）$
=$cos（α+β）+\frac{cosαsin（α+β）}{sinα}-2cos（α+β）$=$\frac{cosαsin（α+β）}{sinα}-cos（α+β）$=2，
∴$\frac{sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα}{sinα}=2$，即sin[（α+β）-α]=sinβ=2sinα，
∴sin²β+2cos2α=4sin²α+2（1-2sin²α）=2．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查“拆角配角”思想的应用，是中档题．