Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是CC₁、B₁C₁、C₁D₁的中点．
（1）求异面直线PN、AC所成角；  
（2）求证：平面MNP∥平面A₁BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方体的几何特征，我们易得到PN∥B₁D₁∥BD，则异面直线PN、AC所成角，即为BD、AC所成的角，利用正方形对角线互相垂直，即可得到答案．
（2）由正方体的几何特征，我们易得PN∥BD，A₁B∥PM，结合面面平行的判定定理，即可得到答案．
解答：解：（1）如下图所示：

在正方形ABCD中，AC⊥BD
又∵PN∥B₁D₁∥BD
∴PN、AC所成角与BD、AC所成的角相等
∵BD⊥AC
∴异面直线PN、AC所成角为90°，
证明：（2）∵PN∥BD，A₁B∥PM，
PN?平面MNP，PM?平面MNP，PN∩PM=P
A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B
∴平面MNP∥平面A₁BD
点评：本题考查的知识点是平面与平面平行的判定，异面直线所成的角，其中利用转化思想将空间问题转化为平面问题是解答此类问题的核心思想．