Question

已知实数x，y满足线性约束条件

x≥0 y≤x 2x+y+k≤0

，其中 k＜0且为常数．
（1）若z=x+3y的最大值为8，则k=

 

；
（2）在（1）的条件下，设P（x，y）为相应的可行域中任意一点，则满足“x²+y²≤4”的概率为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用,概率与统计

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用z=x+3y的最大值为8，确定最优解，建立方程，即可得到结论．
（2）根据几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x+3y的最大值为8得，x+3y=8，
则对应的平面区域在直线x+3y=8的下方，
由

y=x x+3y=8

，解得

x=2 y=2

，
即A（2，2），此时点A也在直线2x+y+k=0上，
即4+2+k=0，
解得k=--6．
（2）由（1）知B（3，0），则三角形OAB的面积S=

1

2

×3×2=3，
满足x²+y²≤4的区域面积为

1

8

×π×22=

π

2

，
则满足“x²+y²≤4的概率P=

π 2

3

=

π

6

故答案为：-6，

π

6

点评：本题主要考查线性规划的应用以及几何概型的概率的计算，利用数形结合先确定最优解是解决本题的关键．