Question

若直线2ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圆x²+y²-2x-4y-6=0，则

2

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,直线与圆的位置关系

专题：不等式的解法及应用

分析：直线2ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圆x²+y²-2x-4y-6=0，可得：直线2ax+by-2=0（a，b∈R^*）经过圆心，于是a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：圆x²+y²-2x-4y-6=0化为（x-1）²+（y-2）²=11，圆心为C（1，2），
∵直线2ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圆x²+y²-2x-4y-6=0，
∴直线2ax+by-2=0（a，b∈R^*）经过圆心C（1，2），
∴2a+2b-2=0，化为a+b=1．
∴

2

a

+

1

b

=（a+b）(

2

a

+

1

b

)=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2b a • a b

=3+2

2

，当且仅当a=

2

b=2-

2

时取等号．
∴

2

a

+

1

b

的最小值是3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查了圆的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．