Question

已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x²－＝1于A，B两点，且

(1)求直线AB的方程；

(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

 (1)由题意知直线AB的斜率存在．

设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x²－＝1得，

(2－k²)x²－2k·(2－k)x－(2－k)²－2＝0.(*)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁，x₂是方程(*)的两根，

∴2－k²≠0且x₁＋x₂＝.

∵，∴N是AB的中点，∴＝1，

∴k(2－k)＝－k²＋2，∴k＝1，

∴AB的方程为y＝x＋1.

(2)将k＝1代入方程(*)得x²－2x－3＝0，

∴x＝－1或x＝3，

不妨设A(－1,0)，B(3,4)．

∵＝0，∴CD垂直平分AB.

∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，

代入双曲线方程整理得x²＋6x－11＝0，

令C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)及CD中点M(x₀，y₀)，

则x₃＋x₄＝－6，x₃·x₄＝－11，

|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，

|MA|＝|MB|＝2，

即A，B，C，D到M的距离相等，∴A，B，C，D四点共圆．