Question

求

1

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 992

的整数部分．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由

1

n2

＜

1

(n+1)(n-1)

=（

1

n-1

-

1

n+1

），得

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

992

＞

19800

14651

，由

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，得

1

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 992

＜

100

49

，由此能求出

1

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 992

的整数部分．

解答： 解：∵n²＞（n+1）（n-1），∴

1

n2

＜

1

(n+1)(n-1)

=（

1

n-1

-

1

n+1

），
∴

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

992

＜

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

98

-

1

100

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

99

-

1

100

）
=

14651

19800

，
∴

1

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 992

＞

19800

14651

，
∵n²＜n（n+1），∴

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

992

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

99

-

1

100

=

1

2

-

1

100

=

49

100

，
∴

1

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 992

＜

100

49

，
∴

1

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 992

的整数部分为2．

点评：本题考查

1

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 992

的整数部分的求法，是中档题，解题时要注意裂项法的合理运用．