Question

11．已知f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）不求导数，判断f′（x）=0有几个实根，并指出这些根所在的范围．

Answer 1

分析 令f（x）=0，则x=1，2，3，4，可得f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0，再利用罗尔定理，即可得出结论．

解答 解：令f（x）=0，则x=1，2，3，4，∴f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0．
又f（x）在区间[1，2]上连续，在区间〔1，2〕上可导，f（1）=f（2）=0，
由罗尔定理可知：方程f'（x）=0在区间（1，2）至少存在一个实根；
同理可知：方程f'（x）=0分别在区间（2，3）（3，4）都至少存在一个实根，
又f'（x）=0为三次方程，其根至多三个，
∴f'（x）=0有三个实根，其区间分别是（1，2），（2，3），（3，4）．

点评 本题考查罗尔定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．