【题目】如图,在三棱锥中,平面,,、、分别是棱、、的中点,,.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由、分别是棱、的中点. 所以,所以(或其补角)为异面直线与所成的角,在中求解.
(2)由是棱的中点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离.设点到平面的距离为,由等体积法求解点到平面的距离.
(1)由平面,所以,则
由、分别是棱、的中点. 所以,且
所以(或其补角)为异面直线与所成的角.
由平面,则,又,即.
又,所以平面,
由、分别是棱、的中点. 所以,且
所以平面,则,即.
所以在直角三角形中,.
所以异面直线与所成的角为;
(2)由是棱的中点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
设点到平面的距离为.
由(1)可知为直角三角形,则.
.
由是棱的中点,所以点到面的距离为
由,所以
所以
所以点到平面的距离为.
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【题目】高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,.已知函数,函数,则下列命题中真命题的个数是( )
①图象关于对称;
②是奇函数;
③在上是增函数;
④的值域是.
A.B.C.D.
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】某部门在上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,单位:分钟)将统计数据按,,,…,分组,制成频率分布直方图如图所示:
(1)求a的值;
(2)记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”试估计A的概率;
(3)假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计,记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,求的值,并直接写出与的大小关系.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对边的边长,且C=,a+b=λc(其中λ>1).
(1)若λ=时,证明:△ABC为直角三角形;
(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.
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【题目】高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图),并且每一排钉子数目都比上一排多一个,一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落时,由于碰到下一排铁钉,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两铁钉的间隙,又碰到下一排铁钉.如此继续下去,在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
(Ⅰ)理论上,小球落入4号容器的概率是多少?
(Ⅱ)一数学兴趣小组取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为,求的分布列与数学期望.
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【题目】已知点F1、F2分别为双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,点M(x0,y0)(x0<0)为C的渐近线与圆x2+y2=a2的一个交点,O为坐标原点,若直线F1M与C的右支交于点N,且|MN|=|NF2|+|OF2|,则双曲线C的离心率为_____.
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【题目】众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆,给出以下命题:
①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是
②当时,直线y=ax+2a与白色部分有公共点;
③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x,y),则x+y的最大值为2;
④设点P(﹣2,b),点Q在此太极图上,使得∠OPQ=45°,b的范围是[﹣2,2].
其中所有正确结论的序号是( )
A.①④B.①③C.②④D.①②
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