Question

双曲线 C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F₁，F₂为C的焦点A为双曲线上一
点，若|F₁A|=2|F₂A|，则 cos∠AF₂F₁=（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  5

  4

• C、

  5

  5

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,两直线的夹角与到角问题

专题：计算题,解三角形,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=

5

a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形
AF₂F₁的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答： 解：由于双曲线的一条渐近线y=

b

a

x与直线x+2y+1=0垂直，
则一条渐近线的斜率为2，
即有b=2a，c=

a2+b2

=

5

a，
|F₁A|=2|F₂A|，且由双曲线的定义，可得|F₁A|-|F₂A|=2a，
解得，|F₁A|=4a，|F₂A|=2a，
又|F₁F₂|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF₂F₁=

|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|2

2|AF2|•|F1F2|

=

4a2+4×5a2-16a2

2×2a×2 5 a

=

5

5

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查两直线的垂直的条件及余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．