Question

已知函数f（x）=

2•3x+a

3x+1+b

是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）若存在实数m，n，使n＜f（x）＜m对任意的实数x都成立，求m-n的最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数得性质得f（0）=0、f（-1）=-f（1），列出方程求得a、b的值；
（2）由（1）得函数的解析式，利用分离常数法花间解析式，再由指数函数得值域逐步求出函数f（x）的值域，再求出m-n的最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，得

2•30+a

31+b

=0，解得a=-2，
再由f（-1）=-f（1），得

2•3-1-2

30+b

=-

2•31-2

32+b

，
解得b=3，
故实数a、b的值分别为：-2、3；
（2）由（1）得，f(x)=

2•3x-2

3x+1+3

=

2(3x-1)

3(3x+1)

=

2

3

•

3x-1

3x+1

=

2

3

•

3x+1-2

3x+1

=

2

3

(1-

2

3x+1

)＜

2

3

，
∵3^x+1＞1，∴0＜

2

3x+1

＜2，
则-2＜-

2

3x+1

＜0，即-

2

3

＜

2

3

(1-

2

3x+1

)＜

2

3

，
∴-

2

3

＜f(x)＜

2

3

，
∴使n＜f（x）＜m对任意的实数x都成立，m-n的最小值为

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，指数函数得性质，不等式问题转化为函数的值域问题，以及分离常数法求函数的值域，考查计算、转化能力．