Question

已知F₁，F₂是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F₂作长轴的垂线，在第一象限和椭圆交于点H，且tan∠HF₁F₂=

3

4

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的准线方程为x=±4

5

，一条过原点O的动直线l₁与椭圆交于A，B两点，N为椭圆上满足|NA|=|NB|的一点，试求

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

的值；
（3）设动直线l₂：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知tan∠HF₁F₂=

b2 a

2c

=

3

4

，由此能求出椭圆离心率e=

1

2

．
（2）由已知得

a2

c

=4

5

，e=

c

a

=

1

2

，由此求椭圆方程为

x2

20

+

y2

15

=1，由|NA|=|NB|，知N在线段AB的垂直平分线上，又由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，由此进行分类讨论能求出

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

7

30

．（3）设b²=3t，a²=4t，椭圆的方程为3x²+4y²-12t=0，由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0，由△=0，得m²=3t+4k²t，由此利用韦达定理结合已知条件能求出椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

解答： 解：（1）由题意知tan∠HF₁F₂=

b2 a

2c

=

b2

2ac

=

a2-c2

2ac

=

3

4

，
∴2a²-2c²-3ac=0，
∴2-2e²-3e=0，
解得e=

1

2

或e=-2（舍），
∴e=

1

2

．
（2）∵椭圆准线方程为x=±

a2

c

，
∴

a2

c

=4

5

，又由（1）知e=

c

a

=

1

2

，
且a²=b²+c²，解得a²=20，b²=15，
∴椭圆方程为

x2

20

+

y2

15

=1，
由|NA|=|NB|，知N在线段AB的垂直平分线上，
又由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，
①若A，B在椭圆的短轴的顶点上，则点N在椭圆的长轴顶点上，
此时

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2（

1

a2

+

1

b2

）=

7

30

，
若A、B在椭圆的长轴顶点上，则点N在椭圆的短轴顶点上，
此时

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

1

a2

+

1

a2

+

2

b2

=2（

1

a2

+

1

b2

）=

7

30

，
②当A，B，N不是椭圆顶点时，设l₁：y=kx，k≠0，A（x₁，y₁），则直线ON：y=-

1

k

x，
由

y=kx x2 20 + y2 15 =1

，解得x12=

60

4k2+3

，y12=

60k2

4k2+3

，
∴|OA|²=|OB|²=x12+y12=

60(k2+1)

4k2+3

，
用-

1

k

代替k得到|ON|²=

60(k2+1)

3k2+4

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=2×

4k2+3

60(k2+1)

+2×

3k2+4

30(k2+1)

=

7

30

，
综上，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

7

30

．
（3）∵

b2

a2

=

3

4

，设b²=3t，a²=4t，
∴椭圆的方程为3x²+4y²-12t=0，
由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0，
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴△=0，即64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12t）=0，
整理，得m²=3t+4k²t，
设P（x₁，y₁），则x1=-

8km

2(3+4k2)

=-

4km

3+4k2

，
y1=kx1+m=

3m

3+4k2

，
∴P（-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

），又M（1，0），Q（4，4k+m），
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴（1+

4km

3+4k2

，-

3m

3+4k2

）•（-3，3（4k+m））=0恒成立，
整理，得3+4k²=m²，
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1．
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查三条线段倒数和的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．