Question

已知

OA

，

OB

是不共线的向量，若A，B，P三点共线，求证：存在实数x，y使

OP

=x

OA

+y

OB

且x+y=1，反之成立．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：先想着用

OA

，

OB

来表示

OP

，根据向量的加法运算，

OP

=

OA

+

AP

，因为A，B，P三点共线，所以

AP

，

AB

共线，根据共线向量基本定理，存在实数λ使：

AP

=λ

AB

=λ(

OB

-

OA

)．所以能得到

OP

=(1-λ)

OA

+λ

OB

，所以存在实数x=1-λ，y=λ使

OP

=x

OA

+y

OB

且x+y=1，这算正着证完了，再证明反之成立．先根据x+y=1得到：

OP

=(1-y)

OA

+y

OB

=

OA

+y

AB

，再根据向量的加法运算，

OP

=

OA

+

AP

，所以得到：

AP

=y

AB

，所以根据共线向量基本定理得出A，B，P三点共线．

解答： 证：（1）

OP

=

OA

+

AP

；
∵A，B，P三点共线
∴

AP

和

AB

共线；
∴存在实数λ使：

AP

=λ

AB

=λ(

OB

-

OA

)；
∴

OP

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)=(1-λ)

OA

+λ

OB

；
令x=1-λ，y=λ则：

OP

=x

OA

+y

OB

且x+y=1．
（2）我们来证反过来成立．
x+y=1
∴x=1-y；
∴

OP

=(1-y)

OA

+y

OB

=y(

OB

-

OA

)+

OA

=

OA

+y

AB

；
又

OP

=

OA

+

AP

；
∴

AP

=y

AB

；
根据共线向量基本定理：

AP

和

AB

共线，又

AP

和

AB

有一个公共点A；
∴A，B，P三点共线．
∴反之也成立．

点评：本题考查向量的加法运算，共线向量基本定理，向量共线的判定，根据向量的加法运算用其它向量来表示

OP

是证明本题的关键．