Question

己知⊙O：x²+y²=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且

PM

=

2

NM

．
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则k_AD+k_AE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设M（x，y），则可设P（x，y₀），Q（x，0），根据又

PM

=

2

NM

，可确定y₀=3y，进而可知点P的坐标代入圆的方程，求得曲线C的方程．
（Ⅱ）设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），设出过点B的直线DE的方程，与题意方程联立，利用韦达定理求出横坐标的和与乘积，求出k_AD+k_AE化简即可判断否为定值．

解答： 解：（Ⅰ）设N（x，y），P（x₀，y₀），则M（x₀，0），

PM

=(0，-y0)，

NM

=(x0-x，-y)
由

PM

=

2

NM

，得

0= 2 (x0-x) -y0=- 2 y

，
∴

x0=x y0= 2 y

…（3分）
由于点P在圆O：x²+y²=6上，则有x2+(

2

y)2=6，即

x2

6

+

y2

3

=1．
∴点N的轨迹C的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ） 设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），过点B的直线DE的方程为y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

消去y得：（2k²+1）x²-12k²x+18k²-6=0，其中△＞0
∴x1+x2=

12k2

2k2+1

，x1x2=

18k2-6

2k2+1

；…（8分）
∴kAD+kAE=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

kx1-(3k+1)

x1-2

+

kx2-(3k+1)

x2-2

=

2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4

x1x2-2(x1+x2)+4

…（10分）
=

2k• 18k2-6 2k2+1 -(5k+1)• 12k2 2k2+1 +12k+4

18k2-6 2k2+1 -2• 12k2 2k2+1 +4

=

-4k2+4

2k2-2

=-2
∴k_AD+k_AE是定值-2．…（13分）

点评：本题主要考查了椭圆的应用，韦达定理等知识都有涉及，直线的斜率，综合性很强．