Question

如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB．

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．

Answer 1

（1）见解析  （2）3

解：(1)证明：∵AB∥DE，∴＝，
又OD＝OE，∴OA＝OB．
如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB．
又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．
(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC．
由(1)知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD＝∠F，
∴△ACD∽△AFC．
∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，
∴＝．
∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4．
又AC²＝AD·AF，∴2·(2＋2r)＝4²，于是r＝3．