Question

已知半径为1的动圆与圆（x-5）²+（y+7）²=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是

（x-5）²+（y+7）²=9或（x-5）²+（y+7）²=25．

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Answer 1

分析：根据题意可得已知圆的圆心为C（5，-7），半径r=4．若半径为1的动圆与已知圆相切，则由两圆相切的位置关系及其性质，可得动圆圆心到C的距离等于3或5，由圆的性质得其轨迹为以C为圆心、半径等于3或5的圆，由此得到动圆圆心的轨迹方程．

解答：解：圆（x-5）²+（y+7）²=16的圆心为C（5，-7），半径r=4．
∵半径为1的动圆与圆（x-5）²+（y+7）²=16相切，
∴当两圆内切时，动圆圆心A到点C的距离等于两圆的半径之差的绝对值，
|BC|=4-1=3，因此动圆圆心的轨迹为以C为圆心，半径等于3的圆，
轨迹方程为（x-5）²+（y+7）²=9；
当两圆外切时，动圆圆心B到点C的距离等于两圆的半径之和，
|BC|=4+1=5，因此动圆圆心的轨迹为以C为圆心，半径等于5的圆，
轨迹方程为（x-5）²+（y+7）²=25．
综上所述，所求动圆圆心的轨迹方程是（x-5）²+（y+7）²=9或（x-5）²+（y+7）²=25．
故答案为：（x-5）²+（y+7）²=9或（x-5）²+（y+7）²=25．

点评：本题给出圆的方程，求半径为1且与已知圆相切的动圆的圆心轨迹方程，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．