Question

下列四个命题：
①“a＞b”是“2^a＞2^b”成立的充要条件；
②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件；
③函数f（x）=ax²+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”
④定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的必要条件是“

f(-x)

f(x)

=1”．
其中真命题的序号是

①③

．（把真命题的序号都填上）

Answer 1

分析：根据函数y=2^x是R上的增函数可得①正确．通过举反例可得②不正确．根据奇函数的定义可得③正确．由偶函数的定义不能推出“

f(-x)

f(x)

=1”，但由“

f(-x)

f(x)

=1”能推出
函数y=f（x）是偶函数，可得④不正确．

解答：解：由于函数y=2^x是R上的增函数，故由“a＞b”能推出“2^a＞2^b”，而且由“2^a＞2^b”成立能推出“a＞b”成立，故①“a＞b”是“2^a＞2^b”成立的充要条件，故①正确．
由②“a=b”成立不能推出“lga=lgb”成立，如a=b=-1时，“lga=lgb”不成立．但由“lga=lgb”成立，能推出“a=b”成立，故“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件，
故②不正确．
函数f（x）=ax²+bx（x∈R）为奇函数，等价于f（-x）=-f（x），即 ax² -bx=-（ax²+bx），等价于 a=0，故函数f（x）=ax²+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”，
故③正确．
由函数y=f（x）是偶函数可得 f（-x）=f（x），但不能推出“

f(-x)

f(x)

=1” 成立，（如f（x）=0时）．但由“

f(-x)

f(x)

=1”可得  f（-x）=f（x），即函数y=f（x）是偶函数，
故定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的充分条件是“

f(-x)

f(x)

=1”，故④不正确．

点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的奇偶性可单调性，属于基础题．