Question

已知函数f(x)=－x²＋bx＋c．

（1）若f(x)有极值，求b的取值范围；

（2）当f(x)在x=1处取得极值时，若当x∈［－1,2］时，f(x)<c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³－x²＋bx＋c， ∴f `（x）=3x²－x＋b

要使f（x）有极值，则f `（x）=3x²－x＋b=0有实数解

从而△＝1－12b≥0,∴b≤

当b=时，函数在R上严格递增，∴b<

（2）∵f（x）在x=1处取得极值

∴f `（1）=3－1＋b=2＋b=0

∴b＝－2 

∴f（x）=－x²－2x＋c

∵f `（x）=3x²－x－2=（3x＋2）（x－1）

∴当x∈时，f `（x）>0，函数单调递增

当x∈（－，1）时，f `（x）<0，函数单调递减

∴当x=－时，f （x）有极大值＋c

又f （2）=2＋c >＋c, f （－1）=＋c<＋c

∴x∈［－1,2］时，f （x）最大值为f （2）=2＋c

∴c²>2＋c

∴c<－1或c>2