Question

12．设F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线C的渐近线方程为y=±2x．

Answer 1

分析 设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=-c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，求出a与b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．

解答 解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b），
即有m=-c，n=2b，
将点（-c，2b）代入双曲线方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又c²=a²+b²，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{b}{a}$=2，
∴双曲线C的渐近线方程为y=±2x，
故答案为：y=±2x

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．