Question

若直线y=x+b与曲线y=

4x-x2

-1有公共点，则b的取值范围是

[-5，2

2

-3]

．

Answer 1

分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径3求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．

解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成（y+1）²+（x-2）²=4（y≥-1），要使直线l与曲线c仅有公共点
①直线与半圆相切，原心（2，-1）到直线y=x+b的距离为2
d=

|3+b|

2

=2，因为b＜0，
可得b=-3+2

2

，满足题意；
②直线y=x+b过半圆的右顶点（4，-1）可得b=-5，
综上：-5≤b≤-3+2

2

；
故答案为：-5≤b≤-3+2

2

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用，是一道好题；