Question

已知函数f(x)=x-

1

|x|

．
（I）若f（2^x）=2，求x的值；
（II）若tf（t²）+mf（t）≥0对于t∈[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由2^x＞0，直接代入可求f（x）=2x-

1

2x

，结合f（x）=2可求2^x，进而可求x
（II）由t∈[2，4]可求f（t），f（t²），结合tf（t²）+mf（t）≥0恒成立可得t(t2-

1

t2

)+m(t-

1

t

)≥0恒成立，结合t-

1

t

＞0整理可得m≥-（t²+1）恒成立，从而转化为求解1+t²）的最大值即可

解答：解：（I）∵2^x＞0
∴f（x）=2x-

1

2x

=2
∴2^2x-2•2^x-1=0
∴2x=1+

2

∴x=log2(1+

2

)
（II）∵t∈[2，4]
∴f（t）=t-

1

t

，f(t2)=t2-

1

t2

∵tf（t²）+mf（t）≥0恒成立即t(t2-

1

t2

)+m(t-

1

t

)≥0恒成立
∴（t-

1

t

）（t²+1+m）≥0
∵t∈[2，4]
∴t-

1

t

＞0
∴t²+1+m≥0
∴m≥-（t²+1）恒成立
当t∈[2，4]时，-（1+t²）∈[-17，-5]
∴m≥-5

点评：本题主要考查了指数与对数相互转化的应用及恒成立问题的求解，属于函数知识的简单应用