Question

【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.

表中，.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

Answer 1

【答案】（1）更适宜（2）（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气

【解析】

（1）根据散点图是否按直线型分布作答；

（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；

（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.

（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.

（2）由公式可得：，

，

所以所求回归方程为.

（3）设，则煤气用量，

当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小.

故x为2时，烧开一壶水最省煤气.