【题目】设函数.
(1)当求函数
的单调区间和极值;
(2)若存在满足
,证明:
成立.
【答案】(1)当时,
在
上单调递增没有极值;当
时,
在
上单调递增,
在
上单调递减,极小值为
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由时,求得导数
,结合导数的符号,求得函数
的单调性,进而求解极值;
(2)由,得到
,由于
的极小值点为
,可设
,设
,根据函数的单调性求出
,即可求解.
(1)由时,函数
,则
,
令,解得
;令
,解得
;
所以函数在
上单调递减;
在
上单调递增;
当时,函数
有极小值,极小值为
,无极大值.
(2)由,可得
,从而得
,
由,则
,
由(1)知,当时,
从而得
在
上单调递增没有极值,不符合题意;
当时,
,可得
;
可得得
,
得
,
所以函数在
上单调增,
在
上单调减,
可设
设
,仅当
时取得“
”
所以在
为单调递增函数且
当,时有
,即
又由,所以
又由(1)知在
上单调递减,且
,
所以从而得证
成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据,且作了一定的数据处理(如表),得到了散点图(如图).
表中,
.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比,那么x为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,
,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】铁人中学高二学年某学生对其亲属30人饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)
(Ⅰ)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯;
(Ⅱ)根据以上数据完成下列的列联表:
主食蔬菜 | 主食肉类 | 合计 | |
50岁以下人数 | |||
50岁以上人数 | |||
合计人数 |
(Ⅲ)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系?
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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