Question

【题目】函数.

（1）若函数在处取得极值，求a的值；

（2）若函数的图象在直线图象的下方，求a的取值范围；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用得到，并利用极值的充分条件进行检验即可；

（2）由题意可得：，由，可化为．设，利用导数即可得到极值及其最值；

（3）由（2）可知：在上单调递减，可得，化为，即，令，即可证明．

解：（1），．

函数在处取得极值，，即，解得．

，

当时，，函数在内单调递减；

当时，，函数在内单调递增．

函数在时取得极小值．

（2）由题意可得：，

，

，．

设，则，

令，解得，在区间上单调递增；

令，解得，在区间上单调递减．

在时取得极大值，即最大值， ．

．

（3）由（2）可知：在上单调递减，

，

，化为，

，

令，可得．