【题目】已知函数,其中e为自然对数的底数.
(1)若曲线在点
处的切线为
,求a的值;
(2)若函数的极小值为
,求a的值;
(3)若,证明:当
时,
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由可解得结果;
(2)利用导数可得,即
,再构造函数,利用导数证明该方程有唯一实根
,则可得到答案;
(3)即证,转化为证明当
时,(i)
;(ii)
,利用导数分别证明即可.
(1),
由题意得,
∴,∴
.
(2)当时,∵
,∴
递减,∴
没有极值;
当时,
,
∵,
,
∴在区间
上递减,在区间
上递增,
∴时,
取极小值.
即,∴
,
令,则
,
∴在
上递增,又
,
∴方程有唯一解
.
∴当且仅当时,
的极小值为
;
(3)
以下分别证明:当时,有
(i);(ii)
.
()令
,
,则
,因为
,所以
,
所以在
上递减,所以
,即
;
()
时,
显然成立;
时,
.
令,
则,
当时,由(
)知,
,所以
,
由,得
,由
,得
,
所以在
上递减,在
上递增,
∴,∴
.
∴,
∴.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】铁人中学高二学年某学生对其亲属30人饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)
(Ⅰ)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯;
(Ⅱ)根据以上数据完成下列的列联表:
主食蔬菜 | 主食肉类 | 合计 | |
50岁以下人数 | |||
50岁以上人数 | |||
合计人数 |
(Ⅲ)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系?
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为缓解高三学生的高考压力,经常举行一些心理素质综合能力训练活动,经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试,并将其成绩分为、
、
、
、
五个等级,统计数据如图所示(视频率为概率),根据图中抽样调查的数据,回答下列问题:
(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数;
(2)若等级、
、
、
、
分别对应100分、90分、80分、70分、60分,学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时,高三学生的考前心理稳定,整体过关,请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关?
(3)以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标,学校决定对成绩等级为的16名学生(其中男生4人,女生12人)进行特殊的一对一帮扶培训,从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名,求恰好抽到1名男生的概率..
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】惠州市某商店销售某海鲜,经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量(
,单位:公斤),其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次,每销售1公斤可获利40元;若供大于求,剩余的海鲜削价处理,削价处理的海鲜每公斤亏损10元;若供不应求,可从其它商店调拨,调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤,商店销售该海鲜的日利润为
元.
(1)求商店日利润关于日需求量
的函数表达式.
(2)根据频率分布直方图,
①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.
②假设用事件发生的频率估计概率,请估计日利润不少于620元的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国,正用实际行动为世界构筑共同发展平台,展现推动全球贸易与合作的中国方案.
某跨国公司带来了高端智能家居产品参展,供购商洽谈采购,并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元,每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完,每万台的销售收入为
万美元,
(1)写出年利润(万美元)关于年产量
(万台)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)
(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大?并求出最大利润.
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