Question

已知函数.
（Ⅰ）若时，，求的最小值；
（Ⅱ）设数列的通项，证明：.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

（Ⅰ）由已知，，.
若，则当时，，所以.
若，则当时，，所以当时，.
综上，的最小值是.
（Ⅱ）证明：令.由（Ⅰ）知，当时，，
即.
取，则.
于是



.
所以.
（1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的的范围，确定其最小值；（2）借助第一问的结论，得到不等式进而构造达到证明不等式的目的.
【考点定位】本题考查导数的应用与不等式的证明，考查学生的分类讨论思想和利用构造法证明不等式的解题能力.