(1)解:∵
=
=
=-
<0
∴对定义域中的任意两数x
1,x
2恒有
成立,
∴f(x)=x
2是其定义域上的β函数;
(2)证明:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0
∴x
1=x
2=0时,
∴f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)(Ⅱ) 对任意0≤n≤m,取x
1=m,x
2=0,α=
∈[0,1],
∵f(x)是R上的α-β函数,a
n=f(n),且a
0=0,a
m=2m,
∴a
n=f(n)=f(αx
1+(1-α)x
2)≤αf(x
1)+(1-α)f(x
2)=
×2m=2n;
那么∫=a
1+a
2+…+a
m≤2×(1+2+…+m)=m
2+m.
可知f(x)=2x是α-β函数,且使得a
n=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时∫=m
2+m.
综上所述,∫的最大值为m
2+m.
分析:(1)根据β函数的定义,对集合D中的任意两数x
1,x
2恒有
成立,可以用作差法证明f(x)=x
2是否是其定义域上的β函数;
(2)利用特殊值发进行判断,只要有一个点不满足即可;
(3)对任意0≤n≤m,取x
1=m,x
2=0,α=
∈[0,1]利用α-β函数的概念求得a
n=2n,从而转化为等差数列的求和问题;
点评:本题考查函数的概念与最值及数列的求和,难点在于通过对α-β函数的理解转化为数列求和问题,属于难题.