Question

4．若直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围是（-3，3）．

Answer 1

分析 由题意画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面区域，结合直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点得到关于a，b的不等式组，然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围．

解答 解：由不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$作出平面区域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$，解得A（-4，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+4=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（4，-4）．
∵直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4a＞4}\\{a+2b＞4}\\{4a-4b＞4}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{-4a＜4}\\{a+2b＜4}\\{4a-4b＜4}\end{array}\right.$②．
（a，b）所在平面区域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a-b-1=0}\end{array}\right.$，解得M（-1，-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{a-b-1=0}\\{a+2b-4=0}\end{array}\right.$，解得N（2，1），
令t=a+b，即b=-a+t，
∴当直线b=-a+t过M时，t有最小值为-3；当直线b=-a+t过N时t有最大值为3．
∴t=a+b的范围是（-3，3）．
故答案为：（-3，3）．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．